22. Las bolas de la lotería

Hay 9 bolas de lotería en un bombo, numeradas del 1 al 9. Hay tres personas, A,B y C. A cada persona le dan una bola del bombo, pero sólo ven la suya, no la de los demás. Ahora le dan sus bolas a una cuarta persona, que dice al verlas " en estas tres bolas hay una que es la suma de las otras dos", y dicha persona devuelve a cada uno su bola. de nuevo cada uno sólo conoce su bola, y no la de los otros dos. 
Entonces comienza el siguiente diálogo:
A:" Hay 8 posibilidades para la bola de B".
B:" Hay 8 posibilidades para la bola de C"
C:"Hay 4 posibilidades para la bola de A".
A:" Entonces, ya sé cuál es la bola de B".
B:"Entonces, ya sé cuál es la bola de C"

¿Cuál es la bola de C?










Solución:
A dice eso porque no tiene la bola ni 8 ni 4, pues si tuviera la bola 1, entonces B podía tener la 2 y C la 3, o B la 3 y C la 2, ambas combinaciones se anotan como (2,3). También podía darse el caso (3,4), (4,5), (5,6), etc, o sea, B podría tener todas las demás bolas que no sean la 1, o sea, 8 posibilidades. Esto ocurre también para el caso que A tenga la bola 2 y 3. Pero si A tiene la bola 4, B puede tener la 1 (C la 3), la 2 (C la 6), la 3 (C la 1), y así,  pero B no puede tener la 8, porque entonces C no puede ser la 12, ni la 4. Luego B sólo tiene 7 posibilidades en el caso de que A sea un 4, y lo mismo ocurre con el caso que A sea 8. Luego A no puede ser ni 4 ni 8.
Por la segunda frase, B tampoco puede ser ni la 4 ni la 8. Eso lo sabe C cuando va a decir su frase. Si C tuviera la 1, entonces pueden ser A y B las combinaciones (2,3),(3,2), pero no la (4,5) pues ni B ni A son 4 ni 8. Entonces queda para A las 5 posibilidades 2,3,5,6,7 (A no el 9, pues B sería 8 !!!), pero C dijo que sólo tenía 4 posibilidades A !!!luego no puede ser para C el caso 1. Tampoco puede ser el 2, ni el 3 (si C es 3, A podría ser 1,2,5,6,9) y así, sólo el caso C=9 da a A 4 posibilidades, a saber, 2,3,6,7, luego C=9 !!!!!
Luego A, que ya sabe que C es 9, sabe su bola, luego sabe la de B, pero nosotros no podemos saber la bola de A ni la de B.